Sergio Castillo Huerta NL. 5
Felix David Esquivel Moreno NL. 15
segundo grado, Grupo "3"    MATUTINO.

1.1 bosquejo historico.

1.1.1 conceptos historicos trigonometricos en las diferentes culturas.

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Herodoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos.

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría analítica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición').

La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición').

La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición').

La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de 4000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilónica escrita en cuneiforme, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas;1 sin embargo, existen varios debates sobre si, en realidad, se trata de una tabla trigonométrica.

La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de 4000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilónica escrita en cuneiforme, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas;1 sin embargo, existen varios debates sobre si, en realidad, se trata de una tabla trigonométrica.

La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de 4000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilónica escrita en cuneiforme, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas;1 sin embargo, existen varios debates sobre si, en realidad, se trata de una tabla trigonométrica.

ejercicio:
 1.- su significado etimologico es medicion de la tierrra pero en la actualidad se encarga del estudio delas figuras y suus propiredades. R= Geometria.

2.- pueblo antiguo que se desarrollo el calculo de áreas y volúmenes para trazado de tierras y loa construcción de diques. R=Egipcios.

3.- cultura antigua que se caracterizo por el uso de figuras geométricas en sus construcciones. R= Sumerios

4.- utilizaron la rueda para fines bélicos ya descubrieron la razón en la longitud de la circunferencia y el diámetro con un valor de "3" R= Babilónicos.

5.- estabalecen el estudio de la geometria como una ciencia R= griegos

6.- lograron calcular el area de triamgulos y obtuvieron el valor PI con un valor de 3.16047 R= egipcios

7.- construyo la primera tabla de cuerdas para la solucion de triangulos R= hiparlo de nicea

8.- escirbio el almajesto, primer libro sobre astronomia y trigonometria. ademas descubrio el teorema de menelao para la solucion de triangulos esfericos R= tolomeo

9.-escribio el primer libro  oxidental sobre trigonometria R= Johann Muller

10.-  definieron la funcion ceno en terminos de la longitud del lado opuesto del angulo de un triangulo con hipotenusa dada R= hindues

11.- intrudujeron el triangulo polar para la solucion de triangulos esfericos y lo utilizaron en la astronomia para el calculo de tiempo astronimico R= arabes

12.- escribio el libro de la figura transversal que establece la trigonometria plana y esferica como ciencias matematicas independientes R= nasir al - din al- tusi

13.- definio las funciones trigonometricas como proporciones entre los lados de un triangulo y no como las longitudes de estos R= georjes joachim

14.- invento los logaritmos y desarollo reglas mnemotecnicas para resolver triangulos R= john napier

15.- invento el calculo diferencial integral que incorpora las funciones trigonometricas al analisis funcional R= isaac newton

16.- demostró qque las propiedades de la trigonometria son consecuencia de la aritmetica de los numeros complejos R=  leonhard euler


1.2 ANGULOS

1.2.1 Definicion

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente. 

1.2.2 Unidades de medida y conversiones

El ángulo es la región del plano comprendida entre dos rectas que se unen en un mismo punto llamado origen. Los ángulos se calculan siempre en sentido contrario a las agujas del reloj.

Existen principalmente dos tipos de unidades de ángulos.

-Radián

Dibujo de la equivalencia entre ángulo radián y la longitud del arco. El radián es una unidad de medida que se utiliza principalmente en las matemáticas y en la física. El ángulo medido en radianes es igual a la longitud de arco que delimitan las dos rectas si estamos en una circunferencia de radio 1.

Una vuelta entera a una circunferencia es 2π radianes.

-Grado sexagesimal

Los grados sexagesimales dividen una circunferencia en 360 partes iguales, de manera que una vuelta a la circunferencia son 360º.

Un ángulo recto son 90º (90 grados sexagesimales).

Los ángulos se dividen en 60 minutos (expresados con ‘) y cada uno de los minutos en 60 segundos (con”). Por ejemplo, podríamos escribir un ángulo sexagesimal como 87º 31’ 44”. En el mundo científico, se suelen expresar los ángulos tanto en grados, minutos y segundos, como en radianes (aunque esta última unidad proporciona más potencia de cálculo).

Las conversiones en los ángulos son las siguientes:

*De decimal a grados, minutos y segundos:

Sabemos que 1º=60' y 1'=60" son los factores de conversión necesarios para esta operación.

Separamos la parte entera del número: 55,22566º  quedarán 55º  

 0.22566º x 60'/1º=13,5396' igual tomamos como minutos solo la parte entera, ya nos va quedando 55º13'   0,5396' x 60"/1'=32,38" y así finalmente llegamos a 55º13'32".

Así tenemos que, 55,22566º es el mismo ángulo 55º13'32" pero en la notación de grados, minutos y segundos.

*De grados, minutos y segundos a notación decimal:

En este caso sabemos que tenemos que llevar toda la notación a grados y esto nos lleva a los siguientes factores de conversión:

1'=(1/60)º

1"=(1/3600)º o 1º=3600"

En este caso aplicamos las siguientes operaciones 55º + 13' x 1º/60' + 32" x 1º/3600" =  55,22566º.

De esta manera podemos convertir de una notación a otra en cualquier caso, siempre usando los factores de conversión. Incluso podríamos denotar un ángulo, todo en minutos o todo en segundos, utilizando las conversiones, veamos cómo, con el mismo ejemplo:

55º13'32" en grados ya sabemos que es 55,22566º, si llevamos todo a minutos tendremos:

55º x 60'/1º =      3300'           +

32" x 1'/60" =            0.5333'

                               13'     

                           3313,5333'.

1.2.3 Clasificación de ángulos:

Clasificación de los ángulos

Los ángulos pueden clasificarse según su medida en cinco tipos:

angulo recto: es aquel cuya medida es de 90

Ángulo agudo: es aquel cuya medida es menor que 90°

∠ α = < 90°

Ángulo llano: es aquel cuya medida es de 180°

∠ α = 180°

Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°

∠ α = > 90° < 180º

Ángulo completo: es aquel cuya medida es de 360°

∠ α = 360°

1.2.4 Los ángulos en el plano cartesiano

Las características de un ángulo orientado en un sistema cartesiano son:

* Su vértice coincide con el origen de coordenadas.

* Está generado por la rotación de una semirrecta con origen en (0;0). La semirrecta parte desde una posición inicial coincidente  con el semieje positivo de las x y gira manteniendo fijo su origen hasta llegar a una posición que marca su lado terminal.

* El ángulo es positivo cuando está generado en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo cuando está generado en sentido horario.

*La rotación de la semirrecta puede ser mayor que un giro.

En el gráfico se muestran  tres  ángulos  que tienen el mismo lado terminal:

·         positivo de  30 º (menor que un giro)

·         Negativo de 330º (menor que un giro)

·         positivo de 390º (mayor que un giro)

Se considera al plano cartesiano dividido en cuatro sectores llamados cuadrantes:

Se determina en cuál de los cuadrantes se encuentra el lado terminal del ángulo y esta posición  da la ubicación del ángulo. El lado terminal de los tres ángulos representados está en el primer cuadrante por  lo que todos ellos pertenecen a dicho  cuadrante.

1.3 Triángulos

El triángulo es un polígono de tres lados.

Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres segmentos que determinan tres puntos del plano y su limitación. Cada punto dado pertenece a dos segmentos.1 Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo2 y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una figura estrictamente convexa.

Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes de ángulos exteriores, 3 tres lados y tres vértices entre otros elementos.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
Mediatriz:

La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico — la recta — cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se le llama simetral.

Circuncentro

La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico — la recta — cuyos puntos son equidistantes a lo El punto circuncentro puede aparecer en cualquier tipo de figura geométrica que cumpla con las reglas a explicar ya que es un trazado imaginario que se realiza sobre algún punto de su espacio o superficie

Mediana:

En geometría las medianas (en algunos países también llamadas transversales de gravedad[cita requerida]) de un triángulo son, cada uno de los tres segmentos que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.

Baricentro:
el baricentro o centroide de una superficie contenida en una figura geométrica plana, es un punto tal, que cualquier recta que pasa por él, divide a dicho segmento en dos partes de igual momento respecto a dicha recta.


Ortocentro:

El ortocentro se encuentra en el interior del triángulo si éste es acutángulo; coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla en el exterior del triángulo si es obtusángulo. tales como la simetría.

1.3.1 Clasificación y propiedades de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados

- Equilátero

            Los 3 lados (a, b y c) son iguales            

            Los 3 ángulos interiores son iguales

- Isósceles

            Tienen 2 lados iguales (a y b) y un lado distinto (c)

            Los ángulos A y B son iguales, y el otro agudo es distinto

 

- Escaleno

            Los 3 lados son distintos

   Los 3 ángulos son también distintos

 

1.3.2 Clasificacion y propiedades de triangulos de acuerdo a la medida de sus ángulos.

Tipos de triángulos según sus ángulos:

· Rectángulo: contiene un ángulo un ángulo de 90º que se encuentra enfrente de la hipotenusa.

Acutángulo: sus tres ángulos son menores de 90º.

Obtusángulo: tiene un ángulo mayor a 90º.

1.3.3 triangulos congruentes

Se dice que dos figuras son congruentes si tiene la misma forma y el mismo tamaño.

Símbolo de congruencia

 

Ejemplo de triángulos congruentes:

 

Postulados de congruencia

 Para dterminar si un triangulo no es congruente no es necesario comparar todos sus elementos existen postulados quE nos permiten comprar solo algunos.

 “LLL” Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son iguales es decir, su longitud ide lo mismo.

“LAL” los triángulos son congruentes si dos de sus lados son iguales y el angulo formado entre dichos lados también es igual.

“ALA” Los triángulos son congruentes si dos de sus ángulos son iguales y el lado comprendido entre los ángulos en igual también. este ejemplo de continuación pertenece a el postulado 1 que es “LLL”

1.3.4 semejanza de triángulos

Concepto: Dos triángulos son semejante cuando sus ángulos miden lo mismo sus lados pueden tener una medida diferente. El símbolo de semejanza  se denota de la siguiente manera :

 

Ejemplo de semejanza de triangulos:

Torema de tales de mileto

Cuando utilizaos la semejanza de triángulos el teorema de tales de mileto adquiere masimportancia y este dice: si dos transversales cortan a varias paralelas determina en ellas segmentos correspondientes proporcionales.

Teorema de proporcionalidad

Toda paralela a un triangulo forma con los otros lados un triangulo semejante al primero.

Teorema de pitagoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática.